Kaedah Penyelesaian Integer kepada Persamaan Diofantus x³ⁿ + y³ⁿ = kz²ⁿ - Zahari, Nor Mazlin (2011)
‘Persamaan Diofantus’ berasal daripada nama Diofantus dari Iskandariah, iaitu seorang ahli matematik terhebat berasal dari Greek. Beliau merupakan penulis pertama yang memperkenalkan pengajian sistematik bagi penyelesaian persamaan berbentuk integer. Persamaan Diofantus merupakan suatu persamaan yang ditentukan kelas penyelesaiannya sama ada dalam bentuk integer, nombor nisbah atau lain-lain medan.Penyelidikan ini menumpukan kepada masalah mendapatkan penyelesaian integer kepada persamaan Diofantus berbentuk x³ⁿ + y³ⁿ = kz²ⁿ bagi sebarang nilai n dan . Pendekatan yang digunakan ialah dengan mencari pola penyelesaian integer kepada persamaan Diofantus x³ⁿ + y³ⁿ = kz²ⁿ yang diperolehi berdasarkan kepada nilai dan yang telah ditetapkan. Pembinaan lema dan teorem adalah berdasarkan kepada pola set penyelesaian yang terbentuk dan seterusnya membentuk formula penyelesaian integer secara umum bagi persamaan Diofantus yang dikaji. Kajian dimulakan dengan mempertimbangkan persamaan Diofantus x³ + y³ = z² diikuti dengan persamaan Diofantus berbentuk , x³ + y³ = z4 dan x³ + y³ = kz². Berdasarkan pola set penyelesaian kepada persamaan-persamaan tersebut, ianya akan memberikan gambaran set penyelesaian integer secara umum bagi persamaan Diofantus x³ + y³ = kz²bagi sebarang nilai n dan . Kajian diteruskan dengan mempertimbangkan persamaan Diofantus x³ⁿ + y³ⁿ = kz²ⁿ bagi nilai n≥2,k=1,2. Dalam tesis ini, kami memberikan suatu versi penyelesaian integer yang lain bagi persamaan Diofantus x³ + y³ = z². Seterusnya, daripada kajian yang dijalankan, didapati bahawa bagi integer positif a,b,c,dan k dengan kdan r suatu faktor sepunya a dan b serta (k,r)=d, penyelesaian integer (a,b,c)bagi persamaan Diofantus x³ + y³ = kz²ⁿ untuk sebarang integer positif n adalah berbentuk a=rs, b=rt bagi sebarang dua integer s,t dan c ( ) suatu u dan k membahagi a3 + b3 . Manakala tidak wujud penyelesaian integer bagi persamaan Diofantus x³ⁿ + y³ⁿ = kz²ⁿ dengan k=1 dan n≥2 . Bagi persamaan Diofantus x³ⁿ + y³ⁿ = kz²ⁿ yang mana k=2 dan n≥2 pula, penyelesaian integer hanya wujud jika dan hanya jika x=y dan berbentuk a=b=t2,c=t3 bagi sebarang integer t.